| Abstract: | Trong
luận văn này, tác giả đã tìm hiểu và nghiên cứu về một số chuỗi ngẫu
nhiên và các vấn đề liên quan. Luận văn của tác giả được chia làm 4
chương cùng với những định lý, khái niệm, tính chất thú vị
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tác giả giới thiệu chung về các kiến thức cơ sở để làm
nền tảng giúp người đọc có thể theo dõi và thấu hiểu được hoàn toàn nội
dụng của các chương tiếp theo. Kiến thức trong chương này bao gồm: Các
dạng hội tụ cơ bản,
Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chính tắc và dãy α- ổn định chính tắc,
modun trên các không gian tuyến tính, lọc và thời điểm dừng, Martingale
giá trị thực, các bất đẳng thức cơ bản và một số kết quả của martingale
thực.
Chương 2. Một số bất đẳng thức cơ bản cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên
của các biến ngẫu nhiên độc lập.
Chương này bao gồm các bất đẳng thức cơ bản về tổng của các biến ngẫu
nhiên độc lập có giá trị trên một không gian Banach khả ly ( F,||.||).
Những bất đẳng thức này sẽ được sử dụng rộng rãi trong suốt phần còn lại
của luận văn. \
Ta quy ước rằng, nếu X_1,X_2,…là một dãy các biến ngẫu nhiên với các giá
trị nằm trên Fthì ta kí hiệu:
S_n=∑_(i=1)^n▒〖X_i,〗 S_n^*=max┬(1≤i≤n)〖||S_i ||〗 và
〖X_n^*=max┬(1≤i≤n)〗|(|X_i | )|
Ta sẽ có các bất đẳng thức sau:
Bất đẳng thức Levy-Octaviani
Nếu X_1,X_2,…,X_n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F thì
với mỗi
t≥0.
P(S_n^*>t)≤3〖max〗┬(1≤i≤n)P(||S_i ||>t/3)
Và ngoài ra nếu X_1,X_2,…,X_n đối xứng thì
P(S_n^*>t)≤2P(〖||S〗_n ||>t)
Bất đẳng thức co
Cho X_1,X_2,…,X_n là các biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có các giá
trị trên F. Khi đó, với mỗi dãy α_1,…,α_n∈R và bất kì t>0, ta có
P(‖∑_(i=1)^n▒〖α_i X_i 〗‖>t)≤2P(max┬(1≤i≤n)〖|α_i |〗.‖∑_(i=1)^n▒X_i
‖>t)
Bất đẳng thức moment
Nếu X_1,X_2,…,X_n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F thì
với bất kỳ s,t,u≥0, ta có
P(S_n^*>s+t+u)≤P(X_n^*>u)+P(S_n^*>t).P(S_(*n)^*>s)
Ngoài ra nếu X_1,X_2,…,X_n là đối xứng thì
P(S_n^*>s+t+u)≤P(X_n^*>u)+2P(S_n^*>t).P(‖S_n ‖>s).
Cuối chương này, tác giả sẽ đề cập tới các bất đẳng thức đuôi cho các tổ
hợp tuyến tính ngẫu nhiên Bernoulli và Gausian.
Chương 3. Sự hội tụvà các nguyên lí trội của các biến ngẫu nhiên độc lập
Trong chương này, ta sẽ giả sử X_1,X_2,…,X_n là một dãy các biến ngẫu
nhiên độc lập có gái trị trên một không gian F (không gian F này được
giả sử là một không gian Banach khả ly hoặc chỉ là một không gian metric
tuyến tính khả ly)
Một định lý quan trọng và thú vị nhất của luận văn đó chính là định lý
Ito-Nisio về một số kiểu hội tụ trùng nhau của chuỗi các biến ngẫu
nhiên.
Định lý (Ito-Nisio): Cho X_1,X_2,… là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
có giá trị trên không gian Banach khả ly F. Khi đó 3 điều kiện sau đây
là tương đương:
∑_(i=1)^∞▒X_i hội tụ hầu chắc chắn;
∑_(i=1)^∞▒X_i hội tụ theo xác suất;
Các phân phối L(S_n ),n=1,2,…, hội tụ yếu.
Ngoài ra, nếu X_1,X_2,… đối xứng thì các điều kiện (i)-(iii) tương đương
với ba điều kiện dưới đây:
Dãy các phân phối (L(S_n )) là compact tương đối
Tồn tại một biến ngẫu nhiên S có giá trị trên F, và một họ D⊂F' các
điểm khả ly của F sao cho với mỗi x^'∈D, chuỗi ∑_(i=1)^∞▒〖x'(X_i)〗 hội
tụ hầu chắc chắn tới x'(S);
Tồn tại một độ đo xác suất μ trên F, và một họ tuyến tính D⊂F' các điểm
khả ly của F sao cho, với mỗi x^'∈D, chuỗi ∑_(i=1)^∞▒〖x'(X_i)〗 hội tụ
theo phân phối tới x'(μ).
Tiếp đó, tác giả trình bày về sự hội tụ theo trung bình cấp p của chuỗi
các biến ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, tác giả còn đề cập tới những khái niệm
khác đó là Moment mũ và các moment khác của chuỗi ngẫu nhiên, các phép
trội yếu và phép trội mạnh cùng những định lý và hệ quả liên quan đến
những khái niệm này ở cuối Chương 3.
Chương 4.Martingale và các nguyên lí trội cho Martingale
Trong chương chuẩn bị đầu tiên của luận văn, ta đã được làm quen với các
Martingale giá trị thực và một số tính chất của nó. Chương này, tác giả
tập trung đi sâu vào Martingale có giá trị trong một không gian Banach
F, và cũng như vậy một số tính chất đúng với Martingale giá trị thực
cũng đúng với Martingale có giá trị trong một không gian Banach F.
Đầu tiên, tác giả giới thiệu Bất đẳng thức Doob cho Martingale có giá
trị trong một không gian Banach F (Bất đẳng thức Doob cổ điển cho
Martingale có giá trị thực đã được đề cập tại Chương 1). Phần tiếp theo,
tác giả trình bày về sự hội tụ của martingale Doob cổ điển cho
Martingale con giá trị thực, và sau đó chỉ ra nó cũng đúng khi được phát
biểu lại cho Martingale có giá trị trong một không gian Banach F. Đặc
biệt, trong chương này, tác giả đã đề cập đến một kiến thức về dãy các
biến ngẫu nhiên đó là các định nghĩa và ví dụ về các dãy tách rời và các
dãy tiếp xúc. Cuối cùng, tác giả đã trình bày tính ứng dụng của Phép
trội yếu và phép trội mạnh đã được giới thiệu ở Chương 3 cho Martingale
có giá trị trên không gian Banach F. |
Nhận xét
Đăng nhận xét